Intérêt pédagogique 

Intérêt de l'activité pour la compréhension de concepts mathématiques - la théorie des graphes et les ensembles dominants : De nombreuses situations de la vie réelle peuvent être abstraites sous la forme d'un "graphe" ou plus communément un dessin de réseaux reliant des objets par des arêtes. Les graphes présentent un grand intérêt pour le développement d'algorithmes car ils permettent de modéliser des relations entre un ensemble fini d’entités en considérant à la fois leur propriété et leurs interactions. Les entités sont les sommets ou les nœuds de nos réseaux représentés de manière simplifiée. L'image ci-contre est un exemple très simple d'un dessin de graphe, où chaque chiffre représente une entité, un objet. Les liens entre les nœuds sont les arêtes du graphe.

Afin d'illustrer le concept de graphe et d'ensembles dominants, nous vous proposons une activité simple qui permettra de comprendre les interactions entre entités mais également leurs limites. Pour ce faire, nous considérons une ville, avec plusieurs rues (nos arêtes) qui se croisent créant ainsi des carrefours (qui seront représentées par des nœuds), et un défi : créer un réseau de fermes urbaines permettant à chaque citoyen de trouver à proximité de son habitation, des fruits et légumes en circuit court. Nous utilisons le plan ci-contre pour représenter la ville. Comme nous pouvons le remarquer, la ville est constituée d'arêtes (nos rues, en gris) qui relient entre eux des sommets (nos carrefours représentés par des points blancs).

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Grâce au concept mathématique de graphe, nous pouvons représenter de notre ville par une modélisation mathématique qui simplifie les concepts initiaux. Si vous superposez notre plan et notre graphe, vous verrez que les deux représentations coïncident parfaitement, l'une étant complexe car comprenant beaucoup d'informations non nécessaires à la résolution du problème (i.e. trouver la localisation optimale de fermes urbaines pour desservir l'ensemble des citoyens de notre ville). La seconde étant bien plus simple, en proposant uniquement les informations utiles (les zones où l'on peut situer les fermes i.e. les sommets, et les rues adjacentes qui seront desservies par ces fermes i.e. les arêtes).

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Afin de résoudre le problème, nous utiliserons donc le graphe de la ville afin de proposer une localisation optimale des fermes. Pour ce faire, nous vous proposons une activité simple : en utilisant les carrefours (les sommets), localisez la première ferme. Une fois localisée, nous pouvons considérer que les habitants logés dans les rues adjacentes (i.e. ceux situés sur l'une des arêtes touchant le sommet) seront desservis. Pour ce faire, vous pouvez utiliser le graphe proposé et colorer le sommet (ou le carrefour) où se trouvent votre ferme et les arêtes adjacentes (les rues) afin de visualiser votre choix, comme sur le schéma ci-contre. Suite à cette première étape, vous pouvez continuer avec le positionnement d'une deuxième, troisième, quatrième.

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A ce stade, l'activité est simple, il suffirait de placer une ferme sur chaque sommet pour couvrir entièrement la ville. Ajoutons une contrainte intuitive pour éviter la redondance de fermes : nous ne souhaitons avoir un minimum de ferme qui couvrent l'ensemble de la ville (toutes les rues). Pouvons-nous trouver facilement un ensemble minimal d'emplacements qui puissent permettre de couvrir toute la ville ? Cela revient à chercher, quel est le nombre minimal de fermes à positionner pour permettre à chaque citoyen d'avoir un accès facile à de la nourriture ? Bien que facile à formuler, il s'agit en réalité d'un problème étonnamment difficile mathématiquement à résoudre. Aujourd'hui, personne ne sait encore s'il existe un algorithme de calcul de cet ensemble minimal d'emplacements qui serait plus efficace qu'une méthode manuelle d'essais/erreurs et/ou d'itérations de stratégies (appelées des heuristiques). Nous vous proposons de faire travailler les élèves individuellement pour commencer, en leur fournissant le graphe de la ville - imprimable 2 (sur papier transparent si vous souhaitez superposer les résultats ou sur papier normal) et de leur demander de couvrir leur ville avec le moins de fermes possible sans insister sur la méthode à appliquer. Pour motiver les troupes, vous pouvez proposer cela sous la forme d'un défi à l'échelle de la classe. Lorsque l'ensemble des élèves auront proposé la solution qu'ils pensent optimale, vous pourrez comparer les résultats. Pour faire comprendre que derrière chaque solution, il y avait un processus (que l'on nommera plus tard algorithme), demander aux élèves ayant eu des bonnes solutions d'expliquer comment ils les ont trouvées. Bien souligner les choix, les répétitions et les stratégies mises en œuvre pour faire comprendre les concepts clefs de l'algorithmie. À partir de cette systématisation orale, demandez à la classe de recommencer le défi pour proposer le "meilleur algorithme" possible.

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Grâce à cette activité, les élèves aborderont donc plusieurs sujets, notamment la cartographie, les relations, la résolution d'énigmes et la recherche itérative d'objectifs, la combinatoire et la théorie des graphes.

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Aborder simplement la théorie des jeux : Afin de complexifier l'activité, vous pouvez également introduire des rôles proposés ci-dessous pour aborder la théorie des jeux. En effet, en réitérant le jeu, chaque joueur peut mettre en œuvre une stratégie qui ne suivra pas la même logique d'un tour à l'autre. En introduisant de nouvelles contraintes liées aux rôles dans le jeu, chaque joueur aura des objectifs contradictoires. Nous vous proposons d'introduire jusqu'à 4 rôles et de proposer aux enfants, en secret, les objectifs suivants :

• Citoyens : Avoir accès à un maximum de services publics et économiques dans la ville - Objectif caché : augmenter le nombre de fermes urbaines proposées sur le territoire de la ville

• Agriculteurs urbains : Proposer un service rentable i.e. un bon rapport coût/bénéfice dans l'installation de leurs points de récolte et de vente - Objectif caché : avoir un minimum de fermes pour un maximum de clients

• Promoteurs immobiliers / Constructeurs : Faire prendre de la valeur à leur immeuble grâce à des services additionnels - Objectif caché : proposer un maximum de service de fermes urbaines afin d'attirer des résidents dans les immeubles

• Planificateur urbain (rajouter sur le graphe des arrêts de bus de manière aléatoire) : Trouver la meilleure adéquation entre les services fournis aux citoyens par le public et par le privé - Objectif caché : Localiser les fermes à proximité d'un arrêt de bus afin de valoriser la planification des transports urbains.

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Au regard des différents rôles proposés, on peut d'ores et déjà identifié de potentielles alliances, par exemple entre l'agriculteur et le planificateur urbain, ou entre le citoyen et le promoteur. En favorisant des discussions entre chacun de ces représentants (travail en groupe pour cette étape), les enfants pourront choisir leur stratégie qui ne correspondra plus à une contrainte unique mais à une pluralité de besoins parfois antagonistes. Ils pourront ainsi décider soit de jouer collectivement, c'est-à-dire coopérer, soit de jouer individuellement en essayant d'influencer les autres membres du groupe, et donc de rentrer dans une logique de compétition. En tant qu'enseignant facilitateur, vous aurez la charge d'encourager la recherche d'une stratégie gagnant-gagnant. Cette seconde phase du jeu permettra de travailler sur l'approche des pratiques de citoyenneté et de vivre ensemble. Dans ce cadre, la théorie des jeux doit nous permettre d'apprendre que le jeu définit les joueurs, mais qu'à terme, c'est nous, les joueurs, qui définissons le jeu.

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Discussion ouverte sur la consommation alimentaire et les pratiques de la ville intelligente : Enfin, comme l'ensemble des activités proposées dans la Quête Unplugged, nous souhaitons pouvoir permettre aux enseignants d'ouvrir la discussion sur des questions sociétales en classe. Dans le cadre du jeu "Ferme en ville", l'objectif est de permettre aux enfants d'en apprendre davantage sur l'agriculture urbaine, les systèmes alimentaires locaux et l'importance des villes apprenantes pour faciliter l'adoption de pratiques plus durables par les citoyens qui soutiennent les politiques urbaines. En plus de la mise en œuvre du jeu, il est également possible de jeter un coup d'œil aux autres ressources fournies dans ce document pour lancer des projets agricoles concrets avec les élèves et illustrer la nécessité de ces pratiques même au travers d'une activité mathématique.